Даны четыре вектора a b c и d в некотором базисе

Составим определитель из координат векторов а, b, c и вычислим его:
△=452301-142=4*0*2-4*1-5*3*2--1*1+2*3*4--1*0=-27
Так как △≠0, то векторы а, b, c линейно независимы и образуют базис.
Разложение вектора по векторам базиса имеет вид
d=x1a+x2b+x3c,
где x1,x2,x3 – координаты вектора d. Данное векторное равенство равносильно системе уравнений:
4x1+5x2+2x3=0,3x1+x3=12,-x1+4x2+2x3=-6.
Решим систему по правилу Крамера . Главный определитель системы
△=452301-142=4*0*2-4*1-5*3*2--1*1+2*3*4--1*0=-27≠0
В этом случае система совместна и имеет единственное решение, которое находится по формулам:
x1=△1△, x2=△2△,x3=△3△,
где △ – определитель системы, а △i – определитель, получающийся из определителя системы △ путем замены в нем столбца, состоящего из коэффициентов при xi, свободными членами (i=1,2,3).
Определитель системы нам известен, вычислим определители:
△1=0521201-642=0*0*2-4*1-5*12*2--6*1+2*12*4--6*0=-54
△2=4023121-1-62=4*12*2--6*1-0*3*2--1*1+2*3*-6--1*12=108
△3=4503012-14-6=4*0*-6-4*12-5*3*-6--1*12+0*3*4--1*0=-162
Отсюда
x1=△1△=-54-27=2, x2=△2△=108-27=-4,x3=△3△=-162-27=6.
Решение системы x1=2, x2=-4,x3=6 образует совокупность координат вектора d в базисе а, b, c, т.е