Постановка задачи.
В таблице для каждого варианта заданы три измеренных экономических величины: первая из них представляет зависимую переменную регрессии y, вторая и третья – независимые переменные регрессии x1 и x2.
Требуется:
Определить средние значения и средние квадратические отклонения всех исследуемых экономических показателей, найти линейные коэффициенты парной корреляции для всех исследуемых показателей;
Построить линейное уравнение множественной регрессии в стандартизованной и естественной форме, рассчитать частные коэффициенты эластичности, сравнить их с и .
Построить одно нелинейное уравнение множественной регрессии на выбор из следующих уравнений: степенное, показательное, гиперболическое.
Рассчитать коэффициент детерминации для обеих построенных уравнений (линейного и нелинейного), скорректировать значение коэффициента детерминации. Сравнить качество описания зависимости между исследуемыми показателями для линейного и для нелинейного уравнения множественной регрессии.
Рассчитать линейные коэффициенты частной корреляции и коэффициент множественной корреляции, сравнить их с линейными коэффициентами парной корреляции, рассчитанными в п. 1.
Оценить значимость построенных уравнений с помощью общего критерия Фишера, рассчитать частный критерий Фишера для каждого уравнения.
Оценить значимость коэффициентов построенных уравнений регрессии при помощи критерия Стьюдента.
Таблица 1
Вариант 10
№ У Х1
Х2
1 3,45 32,1 24,56
2 3,48 31 23,7
3 3,06 32,4 23,78
4 3,66 33,2 24,1
5 3,79 31,2 24
6 3,85 34,8 23,67
7 3,44 35,4 24,9
8 4,08 33 32,75
9 4,5 34,8 26,24
10 4,31 33,3 25,37
11 3,57 36,1 25,66
12 3,55 38,3 24,34
13 4,61 30,6 22,1
14 3,99 32,1 20,57
15 4,78 37,6 24,61
Решение
1.Определим средние значения и средние квадратические отклонения всех исследуемых экономических показателей, найдем линейные коэффициенты парной корреляции для всех исследуемых показателей. Для этого составим дополнительную таблицу 2.
Таблица 2
№ у х1
х2
у2
х12 х22 ух1
ух2
х1х2
1 3,45 32,1 24,56 11,9025 1030,41 603,1936 110,745 84,732 788,376
2 3,48 31 23,7 12,1104 961 561,69 107,88 82,476 734,7
3 3,06 32,4 23,78 9,3636 1049,76 565,4884 99,144 72,7668 770,472
4 3,66 33,2 24,1 13,3956 1102,24 580,81 121,512 88,206 800,12
5 3,79 31,2 24 14,3641 973,44 576 118,248 90,96 748,8
6 3,85 34,8 23,67 14,8225 1211,04 560,2689 133,98 91,1295 823,716
7 3,44 35,4 24,9 11,8336 1253,16 620,01 121,776 85,656 881,46
8 4,08 33 32,75 16,6464 1089 1072,563 134,64 133,62 1080,75
9 4,5 34,8 26,24 20,25 1211,04 688,5376 156,6 118,08 913,152
10 4,31 33,3 25,37 18,5761 1108,89 643,6369 143,523 109,3447 844,821
11 3,57 36,1 25,66 12,7449 1303,21 658,4356 128,877 91,6062 926,326
12 3,55 38,3 24,34 12,6025 1466,89 592,4356 135,965 86,407 932,222
13 4,61 30,6 22,1 21,2521 936,36 488,41 141,066 101,881 676,26
14 3,99 32,1 20,57 15,9201 1030,41 423,1249 128,079 82,0743 660,297
15 4,78 37,6 24,61 22,8484 1413,76 605,6521 179,728 117,6358 925,336
Сумма 58,12 505,9 370,4 228,6 17140,6 9240,3 1961,8 1436,6 12506,8
Ср.знач
3,87 33,7 24,7 15,2 1142,7 616,0 130,8 95,8 833,8
Найдем средние квадратические отклонения признаков:
σу=(у2-у2)=15,2-3,872=0,48
σх1=(х12-х12)=1142,7-33,72=2,28
σх2=(х22-х22)=616,0-24,72=2,53
Рассчитаем сначала парные коэффициенты корреляции:
ryх1=cov(y,x1)σyσх1=130,8-3,87*33,70,48*2,28=0,096
ryх2=cov(y,x2)σyσх2=95,8-3,87*24,70,48*2,53=0,088
rх1х2=cov(x1,x2)σх1σх2=833,8-24,7*33,72,28*2,53=0,186
Таким образом, связь между у и х1 прямая слаба (rx1y=0.096), связь между у и х2 прямая слабая (rx2y=0.088), связь между х2 и х1 прямая слабая прямая (rx1х2=0,186).
2.Построим линейное уравнение множественной регрессии в естественной форме, рассчитаем частные коэффициенты эластичности, сравнить их с и .
Определим коэффициенты регрессии по формулам:
b1=σyσх1∙ryх1-ryх2∙rх1х21-rх1х22=0,482,28*0,096-0,088*0,1861-0,1862=0,02
b2=σyσх2∙ryх2-ryх1∙rх1х21-rх1х22=0,482,28*0,088-0,096*0,1861-0,1862=0,014
a=y-b1x1-b2x2=3,87-33,7*0,02-24,7*0,014=2,96
Таким образом, получили следующее уравнение множественной регрессии: y=2,96+0,02x1+0,014x2
С увеличением х1 на 1 ед.изм. у увеличивается на 0,02 ед.изм., при неизменном х2; с увеличением х2 на 1 ед.изм. у увеличивается на 0,014 ед.изм., при неизменном х1.
Рассчитаем коэффициенты и
β1=b1σх1σy=0,02*2,280,48=0,082
β2=b2σх2σy=0,014*2,530,48=0,072
Т.е. уравнение будет выглядеть следующим образом:
ty=0,082tx1+0.072tx2
Таким образом, при увеличении только фактора Х1 на одно свое стандартное отклонение результат У увеличивается в среднем на 0,082 от своего стандартного отклонения Sy, а при увеличении только фактора Х2 на одно свое стандартное отклонение результат У увеличивается в среднем на 0,072 от своего стандартного отклонения Sy.
Средние коэффициенты эластичности:
Э1=0,02*33,73,87=0,15Э2=0,014*24,73,87=0,087
Следовательно, при увеличении Х1 на 1% и неизменном Х2 у увеличится в среднем на 0,15%
. При увеличении Х2 на 1% и неизменном Х1 У увеличивается в среднем на 0,087%.
3.Построим гиперболическое уравнение множественной регрессии
Произведем линеаризацию модели путем замены Х1=1/х1 и Х2=1/х2. Для этого составим дополнительную таблицу 3.
Таблица 3
№ у Х1
Х2
у2
Х12 Х22 уХ1
уХ2
Х1Х2
1 3,45 0,0312 0,0407 11,9025 0,00097 0,00166 0,107477 0,140472 0,001268
2 3,48 0,0323 0,0422 12,1104 0,001041 0,00178 0,112258 0,146835 0,001361
3 3,06 0,0309 0,0421 9,3636 0,000953 0,00177 0,094444 0,12868 0,001298
4 3,66 0,0301 0,0415 13,3956 0,000907 0,00172 0,110241 0,151867 0,00125
5 3,79 0,0321 0,0417 14,3641 0,001027 0,00174 0,121474 0,157917 0,001335
6 3,85 0,0287 0,0422 14,8225 0,000826 0,00178 0,110632 0,162653 0,001214
7 3,44 0,0282 0,0402 11,8336 0,000798 0,00161 0,097175 0,138153 0,001134
8 4,08 0,0303 0,0305 16,6464 0,000918 0,00093 0,123636 0,12458 0,000925
9 4,5 0,0287 0,0381 20,25 0,000826 0,00145 0,12931 0,171494 0,001095
10 4,31 0,0300 0,0394 18,5761 0,000902 0,00155 0,129429 0,169886 0,001184
11 3,57 0,0277 0,0390 12,7449 0,000767 0,00152 0,098892 0,139127 0,00108
12 3,55 0,0261 0,0411 12,6025 0,000682 0,00169 0,092689 0,14585 0,001073
13 4,61 0,0327 0,0452 21,2521 0,001068 0,00205 0,150654 0,208597 0,001479
14 3,99 0,0312 0,0486 15,9201 0,00097 0,00236 0,124299 0,193972 0,001514
15 4,78 0,0266 0,0406 22,8484 0,000707 0,00165 0,127128 0,19423 0,001081
Сумма 58,12 0,447 0,613 228,6 0,0134 0,02527 1,730 2,374 0,0183
Ср.знач
3,87 0,030 0,041 15,2 0,0009 0,00168 0,115 0,158 0,0012
Найдем средние квадратические отклонения признаков:
σу=(у2-у2)=15,2-3,872=0,48
σх1=(х12-х12)=0,0009-0,032=0,002
σх2=(х22-х22)=0,0012-0,0412=0,0037
Рассчитаем сначала парные коэффициенты корреляции:
ryх1=cov(y,x1)σyσх1=0,115-0,03*3,870,48*0,002=-0,087
ryх2=cov(y,x2)σyσх2=0,158-3,87*0,0410,48*0,0037=-0,053
rх1х2=cov(x1,x2)σх1σх2=0,0012-0,03*0,0410,002*0,0037=0,279
Определим коэффициенты регрессии по формулам:
b1=σyσх1∙ryх1-ryх2∙rх1х21-rх1х22=0,480,002*-0,087--0,053*0,2791-0,2792=-19,08
b2=σyσх2∙ryх2-ryх1∙rх1х21-rх1х22=0,480,0037*-0,053-0,087*0,2791-0,2792=-4,08
a=y-b1x1-b2x2=3,87--19,08*0,03--0,053*0,041=4,61
Таким образом, получили следующее уравнение множественной регрессии: y=4,61-19,08/x1-4,08/x2
4.Рассчитаем коэффициент детерминации для обеих построенных уравнений (линейного и нелинейного), скорректируем значение коэффициента детерминации. Построим дополнительную таблицу 4
Таблица 4
№ у улиней
унелиней
1 3,45 3,84 0,16 0,18 3,85 0,16
2 3,48 3,81 0,11 0,16 3,82 0,12
3 3,06 3,84 0,61 0,66 3,85 0,62
4 3,66 3,86 0,04 0,05 3,87 0,04
5 3,79 3,82 0,00 0,01 3,83 0,00
6 3,85 3,88 0,00 0,00 3,89 0,00
7 3,44 3,91 0,22 0,19 3,91 0,22
8 4,08 3,97 0,01 0,04 3,91 0,03
9 4,50 3,91 0,34 0,39 3,91 0,35
10 4,31 3,88 0,19 0,19 3,88 0,19
11 3,57 3,93 0,13 0,09 3,92 0,12
12 3,55 3,95 0,16 0,11 3,94 0,16
13 4,61 3,79 0,68 0,54 3,80 0,65
14 3,99 3,79 0,04 0,01 3,82 0,03
15 4,78 3,94 0,71 0,82 3,94 0,71
Сумма 58,12 58,12 3,39 3,44 58,12 3,41
Ср.знач
3,87 3,87 0,226 0,229 3,87 0,227
Определим R2 и
Для линейного множественного уравнения:
R2=1-(y-yx)2(y-ycp)2=1-0,2260,229=0.014
Для гиперболического множественного уравнения:
R2=1-(y-yx)2(y-ycp)2=1-0,2270,229=0.008
Найдем скорректированный коэффициент множественной детерминации
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
