Автокорреляция и авторегрессия в рядах динамики

Введение

Многие экономические процессы растянуты по времени и требуют анализа данных за ряд лет. В экономике для этой цели используются модели временных рядов, то есть, модели, которые строятся по данным, которые отражают изменение какого-либо процесса или объекта за ряд лет.
Модели временных рядов анализируются методами корреляционно-регрессионного анализа, который позволяет выявить наличие зависимости между переменными, строить прогноз и т.д. Однако, не всегда имеющиеся данные подходят для построения модели временных рядов, поскольку во временных рядах могут встречаться определенные колебания – такова особенность временных рядов.
Так, например, в данных могут содержаться сезонные или циклические колебания, которые могут искажать конечный результат корреляционно-регрессионного анализа. Для получения корректного результата сезонную или циклическую компоненту нужно исключить из временного ряда.
В некоторых данных может содержаться ложная корреляция, которая также приводит к некорректным результатам. Эта корреляция носит название автокорреляции.
Таким образом, исследование методов обнаружения и устранения автокорреляции в моделях авторегрессии представляется актуальным.
Целью работы является изучение теоретических и методологических аспектов выявления и устранения автокорреляции и авторегрессии в рядах динамики.
Для достижения поставленной цели необходимо решить ряд задач:
определить сущность автокорреляции и авторегрессии, выявить их причины;
выявить последствия проявления автокорреляции и авторегрессии;
исследовать методы выявления и устранения автокорреляции и авторегрессии.

1 Теоретические аспекты автокорреляции и авторегрессии в рядах динамики
1.1 Определения, причины автокорреляции и авторегрессии,
авторегрессионная функция
Автокорреляция представляет собой взаимозависимость элементов временного или пространственного ряда. Причем стоит отметить, что эти элементы должны быть последовательны, то есть, идти друг за другом. Также существует такое явление, как автокорреляция остатков – то есть, наличие постоянной дисперсии остатков при значительной ковариации.
Чаще всего такое явление наблюдается во временных рядах. Как уже упоминалось ранее, так может проявляться специфика временного ряда. Однако, иногда наличие автокорреляции обусловлено ошибкой в спецификации эконометрической модели. Также это может говорить о том, что в модель нужно внести новую переменную с независимыми характеристиками.
Наличие автокорреляции противоречит одному из требований метода наименьших квадратов (далее – МНК) – требования о том, чтобы остатки, полученные в результате решения уравнения регрессии, были случайными.
Авторегрессия – это процесс, который позволяет определять значения показателей будущих периодов на основе значений показателей прежних периодов. Таким образом, в основе данного процесса лежит предположение о том, что предыдущие значения определенного показателя могут влиять на его последующие значения. Авторегрессия AR (1) – это процесс первого уровня, при котором будущее значение показателя вычисляется из предыдущего значения. Например, выручка предприятия за текущий 2019 год определяется, исходя из значений выручки предприятия за предыдущий 2018 год. Авторегрессия AR (2) – это процесс второго уровня, при котором будущее значение показателя вычисляется из двух предыдущих значений, идущих подряд. Например, выручка предприятия за текущий 2019 год определяется, исходя из значений выручки предприятия за предыдущие два года – 2017-2018 годы.
Основными причинами, приводящими к автокорреляции, являются следующие:
1) Ошибки спецификации проявляются тогда, когда в модели не учитывается какой-то важный параметр переменной. Также такие ошибки проявляются, если неверно выбрана форма корреляции. В обоих случаях наблюдается отклонение точек наблюдения от линии регрессии, что влечет за собой проявление автокорреляции и некорректные результаты.
2) Инерция. Многие экономические показатели (например, инфляция, безработица, ВНП и т.п.) возникают циклично

. Например, экономический подъем приводит к росту занятости, сокращению инфляции, увеличению ВНП и т.д. То есть, рост занятости не обязательно имеет корреляцию с сокращением инфляции – в данном случае, оба этих показателя зависят от экономического роста. Но такая инерция может привести к автокорреляции и ошибочным выводам.
3) Эффект паутины заключается в том, что в некоторых сферах экономики определенные показатели реагируют на изменение экономических условий с задержкой во времени. Например, в сельскохозяйственной сфере цена на продукцию определяется только после созревания урожая. Если он плох – цена повышается, если урожай обилен – цена снижается.
4) Сглаживание данных – эта причина имеет место тогда, когда анализируются какие-то усредненные значения определенного показателя. Если в этих данных имелись значительные колебания, то в усредненных значениях они отсутствуют. Например, при анализе товарооборота предприятия исследуется среднее значение по каждому году, а не значения товарооборота за каждый месяц в году. В результате могут иметь место значительное колебания товарооборота, например, в декабре – перед новогодними праздниками, которые игнорируются из-за приведения данных по товарообороту к средним значениям.
Модель (формула) авторегрессии – это модель временного ряда, в которой текущее значение моделированной переменной задается функцией от прошлых значений самой переменной. Модель вида
(1.1)
называется моделью авторегрессии AR(p) порядка p. Параметры ai – называются коэффициентами авторегрессии, εt – «белый шум».
Также целесообразно рассмотреть, как изменяется модель авторегрессии при введении в нее лагового оператора.
Лаговый оператор определяется соотношением:
(1.2)
Модель авторегрессии
(1.3)
с помощью лагового оператора можно выразить следующим образом:
(1.4)
или
(1.5)
Для модели авторегрессии AR(p) можно определить уравнение с характеристиками временного ряда xt, которое имеет вид:
(1.6)
В общем виде:
(1.7)
где р – порядок модели регрессии.
Временной ряд, заданный моделью авторегрессии AR(p), является стационарным тогда и только тогда, когда все корни характеристического уравнения по модулю больше единицы.

1.2 Последствия автокорреляции и авторегрессии в рядах динамики и
методы избавления
Автокорреляция в моделях авторегрессии приводит к неверным результатам при вычислении средних квадратических ошибок коэффициентов регрессии. Автокорреляция также не позволяет построить достоверные доверительные интервалы, проверить их соответствие определенным требованиям. наличие автокорреляции также может привести к уменьшению числа наблюдений, что тоже искажает результаты.
Среди последствий также можно выделить следующие:
оценки параметров, оставаясь линейными и несмещенными, перестают быть эффективными;
дисперсии оценок являются смещенными, что может привести к признанию статистически значимыми объясняющие переменные, которые в действительности таковыми могут и не являться.
Кроме того, оценка дисперсии регрессии (формула 1.8) является смещенной оценкой истинного значения , во многих случаях занижая его:
(1.8)
Выводы по t- и F-статистикам, определяющим значимость коэффициентов регрессии и коэффициента детерминации, могут иметь неверное значение. Вследствие этого ухудшаются прогнозные качества модели.
В этом случае можно воспользоваться методами, которые позволяют устранить автокорреляцию.
1) Определение р на основе статистики Дарбина-Уотсона. Этот метод наиболее эффективен, когда имеется большое количество наблюдений. В этом случае оценка параметра p будет достаточно точной.
Взаимосвязь между статистикой Дарбина-Уотсона и параметром авторегрессии определяется выражением:
(1.9)
Тогда в качестве оценки p можно принять:
(1.10)
где (1.11)
2) Метод Кохрана-Оркатта. Это итерационная процедура. Алгоритм таков. Сначала необходимо оценить исходную регрессию:
(1.12)
Затем необходимо определить остатки:
, (1.13)
В качестве первого приближения параметра p следует взять его МНК-оценку в регрессии (это уравнение не содержит константу).:
(1.14)
Далее нужно оценить полученную регрессию:
(1.15)
Снова определяются остатки