Достаточные условия оптимальности в задаче с ограничениями в виде равенств и неравенств.

Введение

Занимаясь каким-либо видом деятельности приходиться выбирать один из альтернативных вариантов действий. Разумный вариант выбора определенного действия предполагает выбор наилучшего, то есть оптимального решения. С таким рода выбором приходиться сталкиваться в различных видах деятельности.
Задачи на оптимизацию появились еще в глубокой древности, связанные со свойствами простейших элементарных фигур. Раздел математики который занимается решением подобных задач называют теорией экстремальных задач. Она занимается отысканием наибольших и наименьших значений функций с ограничениями, которые объединяются одним словом экстремум.
Данный термин ввел Дюбуа-Реймон. Задачи на экстремум означает, что необходимо отыскать как минимум, так и максимум функции. Из задачи на отыскание минимума можно сделать задачу на отыскание максимума преобразовав задачу.
Данные задачи решаются средствами дефференциального исчисления, линейным и нелинейным программированием, теорией игр, вариационным исчислением.
Актуальность темы исследования обусловлена тем, что решая различные задачи приходится выбирать самое оптимальное решение.
Целью данного реферата является рассмотреть достаточное условие оптимальности в задачах с ограничениями в виде равенств и неравенств.
В соответствии с поставленной целью поставлены следующие задачи:
- рассмотреть постановку задач приводящие к нахождению оптимального решения в задачах с ограничениями в виде равенств и неравенств;
- рассмотреть необходимые и достаточные условия экстремума и правило решения подобных задач;
- рассмотреть примеры решения задач.
Реферат состоит из введения, двух глав, заключения и списка использованной литературы.
Глава 1 Понятие задачи на оптимизацию, ее постановка
Под методами оптимизации подразумевают раздел математики, с помощью которого можно решить задачи на экстремум (нахождение максимума или минимума функции) на различных множествах.
Решая оптимизационную задачу требуется найти оптимальное значение какого-то параметра, который определяет исследуемую задачу.
Нахождение наилучшего решение происходит путем сопоставления с некоторым зависимым параметром. Данная величина при решении подобных задач носит название целевой функции.
В результате поиска наилучшего решения нужно найти такие значения параметров целевой функции, при подстановке которых в функцию она принимает наибольшее или наименьшее значение. Значит, она представляет собой оптимальности в составленных моделях задач.
Если независимый параметр один, то целевая функция представляет функцию одной переменной и обозначается гладкой кривой на плоскости. Если в нее входит две переменные то ее геометрическая интерпретация поверхность. Функции содержащие параметры более двух геометрической интерпретации не имеют.
Выделяют два вида оптимизационных задач:
- безусловные, заключающиеся в отыскании экстремума и нахождении подходящих аргументов на множестве σ  n-мерного пространства;
- условные (задача где есть ограничения). К ним относятся задачи где устанавливаются некоторые ограничения на множестве, в виде функций уравнений и неравенств.
Можно выделить тот факт, что исследуемая функция не всегда может представлять собой формулу уравнения. Ее можно задать также в виде таблицы.
При решении задач на оптимизацию целевую функцию обычно минимизируют, к которой можно свести и задачу на максимизацию путем замены знака на противопоожный.
Задачи на оптимизацию решают с помощью методов математического аппарата. Чтобы применить математические методы, для решение задач на оптимальность необходимо их формализировать, то есть перевести на математический язык.
Перевод задачи на оптимизацию на математический язык в обще виде может представить как нахождение максимума или экстремума некоторой функции заданной на некотором пространстве Х при заданных ограничениях .
В сокращенном виде формула выглядит как:

Если функция содержит одну переменную то , если функция содержит две переменные то . В других вариантах может представлять топологическое, линейное или нормированное пространство.
Ограничение в задачах можно записать с помощью включения или неравенств и уравнений. Возможные значения в задаче обозначается как . В случае когда допустимые значения в задаче совпадают со всем с пространством,то такая задача называется задача без ограничений.
Для того чтобы решить задачу на нахождение максимума надо найти такую точку чтобы выполнялись условия для каждого значения

. В данном случае решение записывают как . Этот минимум называют глобальным или абсолютным.
Таким же аналогичным образом можно определить и глобальный максимум, обозначается как
Найденное значение где - является решением задачи, есть численное решение этой задачи. Численные решения обозначают Smin. - глобальный минимум Smax. – глобальный максимум. Различные решения задачи (Р) записывается символом ArgР.
Когда экстремум функции не достигается, в таком случае записывают последовательность точек Xn, при значениях которой функция F(Xn) стремится к значениям Smin и. Smax.
Решая оптимизационные задачи, задаются вопросом: а как найти это оптимальное решение, есть ли оно вообще, как определить необходимые и достаточные условия экстремума. [1]
Главный и базовый принцип который отвечает на данный вопрос является принцип снятия ограничений Лагранжа. Область приминения принципа Лагранжа очень обширна. К некоторый задачам, однако, нельзя применить данный принцип но он может показать точки среди которых можно найти нужное решение.
Значит, постановка задачи будет иметь вид:
Допустим — функции, n переменных, отображающие пространство Rn в R. При этом предполагается, что исследуемые функции имеют определенную гладкость.
Гладкой конечномерной экстремальной задачей с ограничениями тира равенств и неравенств называется следующая задача в Rn :

Задачам, содержащие ограничения в виде неравенств, важны задачи рассматриваемые на минимизацию и максимизацию. Далее будут рассматривать задачи на минимум. Задачи на максимизацию аналогичные.
Рассмотрим достаточные и необходимые условия оптимальности. В первую очередь - это принцип Лагранжа.
Принцип Лагранжа представляет собой необходимое условие первого порядка.
Принцип Лагранжа звучит следующим образом: пусть – точка локального экстремума в задаче (Р), а функции непрерывно дифференцируемы в окрестности точки (условие гладкости). Тогда существует ненулевой вектор множитель Лагранжа , такой, что для функции Лагранжа задачи (Р) выполняются условия:
a) стационарности :

b) дополняющей нежесткости:

c) неортицательности:

Найденные значения, которые удовлетворяют необходимым условиям локального оптимума, носят название критических. При максимизации функции
Существует также необходимое условие экстремума второго порядка. Данное условие существования экстремума второго порядка в задачах с ограничениями в виде равенств и неравенств звучит следующим образом:
Пусть - является значением локального минимума, функции которую можно продефференцировать два раза в окрестности точки , векторы линейно независимы.
Тогда можно определить с такой, что для функции задачи (Р) выполняются условия экстремума I порядка:
- стационарности:

- дополняющей нежесткости:

- неотрицательности

и
где - конус допустимых вариаций,
Л - совокупность множителей Лагранжа , для которых выполнены условие .
Условие максимума формулируется аналогично, но только и соответственно в конусе допустимых вариаций
Кроме необходимого условия экстремума первого и второго порядков существует также достаточное условие экстремума второго порядка. Оно выглядит следующим образом.
Пусть функции , являеся функцией, которую можно продеференцировать два раза около некоторой точки , векторы - являются независимыми линейны, можно определить множитель Лагранжа с такой, что для функции Лагранжа задачи (Р)

Выполняются условия экстремума первого порядка:
a) стационарности:

b) дополняющей нежесткости:

c) положительности:

и
с какой-то неотрицательной константой ,
где - конус допустимых вариаций;
- множество множителей , для которых выполнены условия a)-c) с .
Это означает, что – точка локального минимума в задаче.
Условие достаточного максимума формулируется аналогичным образом, отличие лишь в том, что множитель Лагранжа , соответственно в конусе допустимых вариаций и .
Рассмотрим порядок и правила решения подобных задач с ограничениями в виде равенств и неравенств:
1) Составить функцию Лагранжа
2) Найти экстремальные условия первого порядка
стационарности:

Б) дополняющей нежесткости:

В) положительности:

3)Найти параметр , которые удовлетворяют условию a)-c) (данные точки носят названия критических).
Нужно также рассмотреть варианты:
А) ;
Б) ;
В);
При:
a) минимальные и максимальные значения в задаче;
b) минимальное значение в задаче;
c) точки максимума в задаче.
При нахождении критических точек в условиях дополняющие нежесткости для каждого нужно рассматривать два варианта: и
Исследовать на локальный и абсолютный экстремум найденные точки или, если их нет, найти и указать последовательности допустимых точек, на которых эти абсолютные экстремумы достигаются.
Для этого возможно применить непосредственную проверку или начать исследовать условие оптимальности второго порядка в отдельной критической точке.
Однако такая проверка соблюдения необходимых и достаточных условий оптимальности в задачах с ограничениями в виде неравенств и равенств трудоемкая задача.
Далее для нахождения оптимума будет использоваться непосредственная проверка, при которой сравниваются значения в критических точках с близкими значениями в допустимых точках.
Таким образом, задачи на оптимизацию представляют собой задачи на отыскания наибольших и наименьших значений функций , то есть отыскания их экстремума