Уникальность
Реферат на тему: Периодические орбиты в задаче трех тел. История вопроса
Аа
27060 символов
Астрономия

Периодические орбиты в задаче трех тел. История вопроса

Введение

Задача трех тел представляется классической для небесной механики. Впервые она была сформулирована И. Ньютоном в тысяча шестьсот восемьдесят седьмом году и с тех пор привлекает внимание многих выдающихся астрономов, математиков и механиков. Общее решение задачи трех тел было получено в тысяча девятьсот двенадцатом году К. Сундманом в виде равномерно сходящихся рядов, однако, оно имело недочеты.  К несчастью, как показал Д. Белорицкий, по крайней мере в случае Лагранжа, для нужд вычислительной астрономии в сходящихся рядах Cундмана нужно брать как минимум {\displaystyle 10^{8\cdot 10^{6}}} 108∙106 членов (4).
Наряду с попытками найти общее решение задачи, предпринимались попытки получить решения в различных частных случаях, например, в системе тел, лежащих на одной прямой или в вершинах равностороннего треугольника. Важная роль в динамике тройных систем отводится периодическим орбитам. Результаты исследований периодических орбит в задаче трех тел появлялись регулярно со времен А. Пуанкаре.
В последние десятилетия интерес к данной теме существенно возрос, о чем может свидетельствовать появление большого количества работ, использующих аналитические и численные методы исследований. Непрерывный прогресс вычислительной техники позволяет разработку и применение все новых методов и подходов в изучении периодических орбит, чем объясняется актуальность заявленной темы.
Целью работы является исследование истории изучения периодических орбит в задаче трех тел. Для достижения заявленной цели необходимо решение следующих задач: перечислить и разобрать основные исторические достижения в изучении задачи трех тел; упомянуть особенности постановки задачи; рассмотреть частные решения задачи трех тел и выяснить современную специфику изучения периодических орбит.
Над изучением заявленной темы работали такие исследователи как А.И. Мартынова «Поиск и исследование близких к периодическим орбит в плоской задаче трех тел равных масс», П.П. Ясько «Свойства периодических и близких к периодическим решений в общей задаче трех тел», В.Б. Титов «Периодические орбиты общей задачи трех тел с нулевым кинетическим моментом», В.М. Алексеев «Финальные движения в задаче трех тел и символическая динамика», Т.А. Агекян и Ж.П. Аносова «Исследование динамики тройных систем методом статистических испытаний» и другие.

1 История изучения задачи трех тел
1.1 Исторические достижения в изучении задачи трех тел

История изучения задачи трех тел берет начало еще во времена научных открытий И. Ньютона. Он, отталкиваясь от законов И. Кеплера, впервые сформулировал закон всемирного тяготения, на его основе И. Ньютон построил теории движения планет Солнечной системы, Луны и комет, теорию приливов и отливов. Ученым была оценена масса Земли и Луны. Для того чтобы решить поставленные задачи, И. Ньютон разработал аппарат дифференциального и интегрального исчислений, который составил основу математического анализа. При построении теории движения Луны учитывалось притяжение как Солнца, так и Земли. Таким образом, оформление получила задача гравитационного взаимодействия трех тел. Ньютону так и не удалось получить точного решения, однако он смог найти приближенное.
Дальнейшее изучение задачи трех тел имело место в работах Л. Эйлера и Ж. Лагранжа. Ими были найдены первые частные аналитические решения для тел произвольных масс. В решении Л. Эйлера рассматривается случай, где все три тела находятся на одной прямой, вращающейся вокруг центра масс (сизигия), все тела движутся по эллипсам. У Ж. Лагранжа решение представляет собой систему, где тела расположены в вершинах равностороннего треугольника, вращающегося и пульсирующего вокруг общего центра масс. Тела также движутся по эллипсам.
Стоит отметить, что решения Л. Эйлера и Ж. Лагранжа являются периодическими, это значит, что через определенный промежуток времени координаты и скорости каждого тела станут равны начальным условиям. Упрощенным вариантом задачи трех тел является ограниченная задача трех тел, в которой массой одного из тел можно пренебречь. Для описания круговой ограниченной задачи (тела конечных масс двигаются по относительной круговой орбите) Л. Эйлер впервые ввел вращающуюся систему координат. В ходе работы с данной системой, им были обнаружены три равновесные точки, которые лежат на прямой, соединяющей центры массивных тел (6).
Позже Ж. Лагранжем были найдены еще две точки, которые находятся в вершинах равносторонних треугольников. Точки равновесия занимают неподвижное положение во вращающейся системе координат, в них уравновешены гравитационные силы со стороны массивных тел и сила инерции (7). В Солнечной системе известны группы тел, находящиеся в окрестности точек Лагранжа. Например, группы астероидов Греки и Троянцы в системе Солнце–Юпитер. На основе недавних исследований стало известно также об астероидах в точках Лагранжа систем Солнце–Земля, Солнце–Марс, Солнце–Сатурн, Солнце–Нептун.
Впоследствии изучением круговой ограниченной задачи трех тел занимались Б. Якоби и Дж. Хилл. С использованием вращающейся системы Б. Якоби был получен интеграл движения, который впоследствии был назван в его честь. Применяя интеграл Б. Якоби к движениям астероидов, Дж. Хиллом были найдены области возможных движений и введены поверхности нулевых скоростей, служащие границами этих областей. Кроме того, им была сформулирована и исследована задача трех тел, в случае, когда масса одного тела много больше массы других, и расстояние до массивного тела много больше, чем расстояние между двумя другими. Эта задача носит имя Дж. Хилла. В ее рамках был найден новый класс периодических решений и построена теория движения Луны, превосходящая по точности ньютоновскую (5).
В конце девятнадцатого века значительный вклад в задачу трех тел внес французский математик А. Пуанкаре. Его фундаментальный труд «Новые методы небесной механики» в большей степени посвящен изучению круговой ограниченной задачи трех тел. Пуанкаре разработал ряд новых качественных методов решения дифференциальных уравнений, использовал их в дальнейшем для обнаружения и изучения периодических решений. В то же время он показал неинтегрируемость системы уравнений, описывающей движение в задаче трех тел.
Новые методы, развитые А. Пуанкаре, позволили ученому выявить непредсказуемость движений в общей задаче трех тел и установить проявление нового феномена, известного сейчас под понятием «хаос». Пуанкаре изучил задачу Дж. Хилла и обобщил определение периодических орбит. Он нашел начальные условия, соответствовавшие периодическим решениям в специальном случае ограниченной задачи трех тел. Математиком было выделено три сорта решений: решения, порожденные круговыми орбитами в задаче двух тел; решения, которые порождены эллиптическими орбитами в задаче двух тел; решения, порожденные круговыми орбитами в задаче двух тел с ненулевым наклоном орбиты третьего тела по отношению к плоскости движения главных тел (11)

Зарегистрируйся, чтобы продолжить изучение работы

Автор работы
5
Анастасия Калашникова
Астрономия
202 заказов
Отзывы
09.08.2021
Очень доволен автором! Задание сделано раньше срока. Рекомендую
Больше рефератов по астрономии:

Роль изоляции в эволюции и видообразовании

Аа
13097 символов
Астрономия
Уникальность

Раздел имущества супругов: Вопросы теории и практики

Аа
51918 символов
Астрономия
Уникальность

Законы движения планет (11 класс)

Аа
19203 символов
Астрономия
Уникальность
Все рефераты по астрономии

Закажи реферат

Наш проект является банком рефератов по всем школьным и студенческим предметам. Если вы не хотите тратить время на написание рефератов по ненужным предметам или ищете реферат в качестве базы для своей работы – он есть у нас.