Принцип оптимальности (наименьшего действия)

Введение

Принцип оптимальности в различных источниках называют принципом экстремальности, вариационным принципом, принципом наименьшего действия. К принципу оптимальности можно свести практически всю классическую механику, в частности три закона динамики и три закона сохранения. Еще древнегреческие натурфилософы предполагали, что «природа ничего не делает напрасно и во всех своих проявлениях избирает кратчайший или легчайший путь». Принцип оптимальности был введен в 1744 году П.Мопертюи, и разрабатывался Эйлером, Лагранжем, Д’Аламбером, Гамильтоном. Ричард Фейнман показал, что принцип имеет статистическую природу, т.е. является наиболее вероятным состоянием для данной системы [3].
Тривиальный пример реализации принципа оптимальности в окружающей нас действительности – тропинки на газоне, упорно пролагаемые людьми в обход тротуаров. Тенденции оптимальности носят универсальный характер, заложены в основе научных теорий, проявляются в различных биологических, технических и социальных системах. Принцип оптимальности является одним из принципов познания в естествознания. Применение принципов познания в науке позволяет избегать ошибок и гораздо быстрее приходить к намеченной цели. В этом состоит актуальность изучения данного вопроса.

Глава 1. Общая формулировка принципа оптимальности
В наиболее общем виде принцип оптимальности можно сформулировать так: во Вселенной реализуются только оптимальные состояния и процессы [1].
Под оптимальным состоянием системы понимают такое, которое изменяется минимально или практически не изменяется при различных вариациях внутренней структуры.
В основу принципа оптимальности можно положить 2 взаимодополняющих постулата:
Согласно первому, система стремится перейти в состояние, в котором любое изменение внутри нее практически не влияет на состояние системы в целом.
Согласно второму постулату, в каждый момент времени из всех возможных состояний системы реализуется то, с которым связано наименьшее количество изменений [1].
Первый постулат заставляет Вселенную эволюционировать от неравновесных состояний ко все более равновесным. Второй постулат запрещает резкие скачкообразные переходы между состояниями, заставляя выстраивать четкие причинно-следственные последовательности событий.
Частными случаями принципа оптимальности являются принцип максимальной общей скорости биохимической реакции, принцип минимума общего осмотического давления, принцип максимума использованной энергии, принцип оптимальной конструкции, принцип максимальной неожиданности протекания эволюции, принцип максимального разнообразия, принцип максимума жизненного репродуктивного успеха особи, принцип минимизации поверхностной энергии в развитии эмбриона, принцип минимума потребления лимитирующего вещества, принцип максимальной биомассы потомства, принцип минимизации репродуктивных усилий, принцип выживания, принцип максимального суммарного дыхания и т.д.

Глава 2. Принцип оптимальности применительно к физике.
Согласно экстремальным принципам в реальности осуществляются лишь некоторые состояния системы с экстремальным значением числовой функции («целевой функции»), которая определяет развитие природной системы [4].
В семнадцатом веке Пьером Ферма для объяснения распространения лучей света в различных средах был сформулирован принцип скорейшего пути: свет всегда идет по такому пути, для прохождения которого требуется минимальный период времени

.
T= ABdsv=min
К этому принципу может быть сведена практически вся геометрическая оптика, в том числе законы распространения, преломления и отражения света [2]. Создается впечатление, что луч света проводит анализ всех возможных траекторий движения, чтобы выбрать из них лучшую. Вслед за открытием Ферма в науке разгорелась дискуссия о разумности природы. Согласно Ж.Лагранжу, практически всю механику можно вывести не только из причинно-следственных законов Ньютона, а из вариационных принципов, то есть исходя из того, что в природе реализуются только оптимальные сценарии процессов. Показателем оптимальности в данном случае служит величина действия, равная интегралу по времени от разности кинетической и потенциальной энергии. Например, камень, летящий в поле притяжения Земли, «выбирает» свою траекторию таким образом, чтобы величина действия была минимальной.
W= (Екин - Епот)dt = min
Траектория движения камня оказывается параболической, так как парабола удовлетворяет принципу оптимальности.
Так как очевидно, что камень не «просчитывает» траекторию своего движения, необходимо признать, что природа из всех возможных законов выбрала только те, которые подчиняются принципу наименьшего движения.
Этот закон действует на всех уровнях мироустройства.
В 1760-1761 годах Жозеф Луи Лагранж распространил принцип наименьшего действия на произвольную механическую систему, тем самым положив начало аналитической механике.
Для описания состояния системы вводится так называемая функция Лагранжа L(q,t), которая зависит от координат и скоростей. Если известно, что в моменты времени t1 и t2 система имеет определенные координаты, то среди всех возможных движений между этими положениями реальным будет такое, вдоль которого действие, определяемое как
,будет иметь минимум.
Типичное проявление принципа оптимальности - второй закон термодинамики – принцип возрастания, или максимума энтропии [4]. С этой точки зрения его можно сформулировать следующим образом: термодинамическая система стремится к такому состоянию, в котором любые его вариации не приводят к существенному изменению энтропии. В данном состоянии энтропия принимает значение, близкое к максимально возможному [3].
Однако, при взгляде на окружающий мир, создается впечатление, что вокруг много абсурда и ошибок, далеких от понятия оптимальности. Есть ли какая-либо оптимальность в поведении мухи, бьющейся об стекло? На самом деле, в данном случае муха реализует один из самых эффективных алгоритмов поведения в данной ситуации – метод случайного поиска, который гарантирует, что, если решение в принципе возможно, рано или поздно оно будет найдено. Без ошибок и случайности природа не могла бы развиваться. Системы, структура которых лишена ошибок, не способны находить оптимум и довольно быстро разрушаются [3].

Глава 3