Уравнение движение в форме Ньютона

Введение

В математической физике уравнения движения - это уравнения, описывающие поведение физической системы в терминах ее движения как функции времени.
Более конкретно, уравнения движения описывают поведение физической системы как набора математических функций в терминах динамических переменных: обычно используются пространственные координаты и время, но возможны и другие, такие как компоненты и время импульса.
Наиболее общим выбором являются обобщенные координаты, которые могут быть любыми удобными переменными, характерными для физической системы. Функции определены в евклидовом пространстве классической механики, но заменены искривленными пространствами в теории относительности. Если динамика системы известна, то уравнения являются решениями дифференциальных уравнений, описывающих движение динамики.
Существует два основных описания движения: динамика и кинематика. Динамика является общей, поскольку учитываются импульсы, силы и энергия частиц. В этом случае термин относится к дифференциальным уравнениям, система которых удовлетворяет второму закону Ньютона, и к решениям этих уравнений.
Динамика проще, поскольку она касается только переменных, полученных из позиций объектов и времени. [2]
В условиях постоянного ускорения эти более простые уравнения движения обычно называются уравнениями «SUVAT», вытекающими из определений кинематических величин: смещение (s), начальная скорость (u), конечная скорость (v), ускорение (a ) и время (t).
Поэтому уравнения движения могут быть сгруппированы под этими основными классификаторами движения. Во всех случаях основными типами движения являются переводы, вращения, колебания или любые их комбинации.
Для установления уравнения для задачи используется дифференциальное уравнение движения, обычно определяемое как некий физический закон и применяющийся для определения физических величин.
Решение дифференциального уравнения приведет к общему решению с произвольными постоянными и соответствующему типу решений. Частное решение можно получить, установив начальные значения, которые фиксируют значения констант.

1. История

Исторически сложилось так, что уравнения движения впервые появились в классической механике, в попытке описать движение массивных объектов, зеще их усиленно пытались применить для небесной механики, чтобы предсказать движение планет, как если бы они вращались подобно часовому механизму (так вел себя Нептун еще перед его непосредственным открытием) А также исследовать устойчивость солнечной системы.
Важно отметить, что огромный объем работ, связанных с кинематикой, динамикой и математическими моделями Вселенной, развивался в детских шагах - колебался, поднимался и исправлялся - более трех тысячелетий и включал в себя как имена известных, так и других, которые с тех пор исчезли из летописей истории.[1]
В древности, несмотря на успех священников, астрологов и астрономов в прогнозировании солнечных и лунных затмений, солнцестояний и равноденствий Солнца и периода Луны, не было ничего, кроме набора алгоритмов, которые могли бы им помочь.
Несмотря на большие успехи в развитии геометрии, сделанные древними греками и исследованиями в Риме, нам предстояло подождать еще тысячу лет до того, как к нам пришли первые уравнения движения.
Важная задача стояла и перед Галилеем, поскольку небольшие промежутки времени не могли быть измерены, сродство между временем и движением было неясным. Он использовал время как функцию расстояния, а при свободном падении выявлял большую скорость в результате большей высоты. [4]
Только Domingo de Soto, испанский богослов, в своем комментарии к физике Аристотеля, опубликованном в 1545 году, после определения движения «однородного дифракта» (которое равномерно ускоренного движения, слова скорость не использовалась) - пропорционально времени. [2]
Этот вид движения был идентифицирован со свободно падающими телами и снарядами, без его доказательства этих предложений или предложения формулы, связывающей время, скорость и расстояние.
Замечания Де Сото являются правильными в отношении определений ускорения (ускорение было скоростью изменения движения (скорости) во времени) и наблюдением, что при сильном движении ускорения всплытия будет отрицательным.
Такие дискурсы распространились по всей Европе и определенно повлияли на Галилея и других, и помогли заложить основу кинематики. Галилей вывел уравнение в своей работе геометрически, используя правило Мертона, теперь известное как частный случай одного из уравнений кинематики. [3]
Он не мог использовать теперь знакомые математические рассуждения. В то время отношения между скоростью, расстоянием, временем и ускорением не были известны.
Галилей первым показал, что путь снаряда - парабола. Галилей понимал центробежную силу и дал правильное определение импульса. Этот акцент импульса как фундаментальной величины в динамике имеет первостепенное значение. Он измерил импульс произведением скорости и веса; масса - более поздняя концепция, разработанная Гюйгенсом и Ньютоном. [1]
В размахе простого маятника Галилей говорит в дискурсах, что «каждый импульс, полученный при спуске вдоль дуги, равен тому, что заставляет одно и то же движущееся тело подниматься по одной и той же дуге»

. Его анализ снарядов показывает, что Галилей понял первый закон и второй закон движения. Он не обобщил и не применил их к телам, не подверженным земной гравитации. Этот шаг был вкладом Ньютона.[6]
Термин «инерция» использовался Кеплером, который применил его к покоящимся телам. Первый закон движения теперь часто называют законом инерции.
Галилей не полностью понял третий закон движения, закон равенства действий и реакции, хотя он исправил некоторые ошибки Аристотеля. С Стевиным и другими Галилей также писал о статике. Он сформулировал принцип параллелограмма сил, но он не полностью осознал его масштаб.[4]
Галилей также интересовался законами маятника, его первые наблюдения были совершены тогда, когда он был молодым человеком. В 1583 году, когда он молился в соборе в Пизе, его внимание было арестовано движением великой лампы, освещенной и оставленной размахивая, ссылаясь на свой собственный импульс для сохранения времени. Для него период оказался таким же, даже после того, как движение значительно уменьшилось, открыв изохронность маятника.[2]
Более осторожные эксперименты, проведенные им позже и описанные в его дискурсах, показали, что период колебаний зависит от квадратного корня длины, но не зависит от массы маятника. И он открыл развитые формы уравнений движения, которые начинают признаваться современными.
Позже уравнения движения также появились в электродинамике при описании движения заряженных частиц в электрическом и магнитном полях, сила Лоренца - это общее уравнение, которое служит определением того, что понимается под электрическим полем и магнитным полем.
С появлением специальной теории относительности и общей теории относительности теоретические модификации пространства-времени означали, что классические уравнения движения также были изменены с учетом конечной скорости света и кривизны пространства-времени.
Во всех этих случаях дифференциальные уравнения находились в терминах функции, описывающей траекторию частицы в терминах пространственных и временных координат, под влиянием сил или энергетических преобразований.[2]

2. Уравнение движения Ньютона

Чтобы быть точным, название этого раздела должно быть «Одномерные уравнения движения для постоянного ускорения». Учитывая, что такое название будет стилистическим кошмаром, позвольте мне начать этот раздел со следующих слов.
Эти уравнения движения действительны только тогда, когда ускорение является постоянным, а движение ограничено прямой. [1]
Учитывая, что мы живем в трехмерной вселенной, в которой единственная константа меняется, у вас может возникнуть соблазн полностью отказаться от этого понятия.
Было бы правильно сказать, что ни один объект никогда не путешествовал по прямой линии с постоянным ускорением в любой точке Вселенной в любое время - не сегодня, не вчера, не завтра, не пять миллиардов лет назад, не тридцать миллиардов лет в будущем, никогда. Это я могу сказать с абсолютной метафизической определенностью.
Итак, что хорошего в этом?
Во многих случаях полезно предположить, что объект совершит или пойдет по пути, который является по существу прямым и с почти постоянным ускорением. То есть любое отклонение от идеального движения может быть по существу проигнорировано.
Движение по искривленному пути также может быть эффективно одномерным, если для задействованных объектов существует только одна степень свободы.
Дорога может крутиться и поворачиваться и исследовать всевозможные направления, но автомобили, движущиеся по ней, имеют только одну степень свободы - свободу двигаться в одном направлении или в противоположном направлении. (Вы не можете ехать по диагонали по дороге и надеяться остаться на ней очень долго.)
В этом отношении это не похоже на движение, ограниченное прямой линией.
Аппроксимация реальных ситуаций с помощью моделей, основанных на идеальных ситуациях, не считается обманом. Так происходит в физике.
Это такая полезная техника, которую я хотел бы использовать в работе снова и снова.
Основная цель в этом разделе – описать Ньютоновские уравнения, которые могут быть использованы для описания движения объекта в терминах трех его кинематических переменных: скорости, смещения и времени. Существует три способа их сопряжения: скорость-время, смещение-время и скорость-перемещение.
В этом порядке их также часто называют первым, вторым и третьим уравнениями движения, но нет никаких веских оснований для изучения этих имен.
Поскольку мы имеем дело с движением по прямой, символ x будет использоваться для смещения. Направление будет обозначено знаком (положительные величины указывают в направлении + x, а отрицательные величины указывают в направлении -x).
Определение, какое направление является положительным, а отрицательное - полностью произвольно.
Законы физики изотропны; т.е. они не зависят от ориентации системы координат.
Пока вы последовательны, это не имеет значения, ведь некоторые проблемы легче понять и решить, когда одно направление и константа главенствует над другими.
Первые два уравнения движения описывают одну кинематическую переменную как функцию времени.
Скорость прямо пропорциональна времени, когда ускорение является постоянным (v ∞ t).
Смещение пропорционально квадрату времени при постоянном ускорении (s ∞ t1).
Сочетание этих двух утверждений порождает третье, которое не зависит от времени