Устойчивость нулевого решения линейной однородной системы с постоянными коэффициентами. Поведение траекторий линейной однородной системы второго порядка с постоянными коэффициентами (вырожденный случай)

Введение
Актуальность. Многие вопросы физики, химии, экономики, техники и других областей знаний сводятся к следующей задаче: найти функцию ¦, имея некоторые уравнения, в которое кроме этой функции и аргументов, от которых она зависит, входят также ее производные до некоторого порядка включительно. Такие уравнения называются дифференциальными уравнениями. Т.е. многие вопросы этих областей знаний решаются с помощью дифференциальных уравнений.
Под линейной однородной системой дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами понимается система. которая имеет следующий вид
dxidt=j=1naij·x(t)j. (1)
С практической точки зрения наиболее интересными являются следующие вопросы - устойчивость нулевого решения линейной однородной системы с постоянными коэффициентами и поведение траекторий линейной однородной системы второго порядка с постоянными коэффициентами. Именно о них и пойдет речь в данной работе.
Цель данной работы заключается в изучении вопросов, касающихся линейных однородных систем с постоянными коэффициентами. Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:
- изучен имеющийся материал по тематике исследования;
- рассмотрена устойчивость нулевого решения линейной однородной системы с постоянными коэффициентами;
- изучено поведение траекторий линейной однородной системы второго порядка с постоянными коэффициентами (вырожденный случай).
1 Устойчивость нулевого решения линейной однородной системы с постоянными коэффициентами
Данная теорема звучит следующим образом: «Пусть вещественные части всех собственных значений матрицы A не положительны и существуют собственные значения с нулевой вещественной частью, причем размерность каждого собственного подпространства совпадает с его кратностью

. Тогда нулевое решение системы является устойчивым по Ляпунову, но не асимптотически» [1]. Докажем данную теорему.
Для начала следует произвести следующе уточнение для зависимости матрицанта от переменной t 0 в рассматриваемом случае
Zt,0=Y(t)·Y(0)-1. (2)
Для всех элементов Yij(t) фундаментальной матрицы, отвечающих собственным значениям с отрицательной вещественной частью/ Следовательно для них справедлива следующая оцена
Y(t)ij≤Cijexp⁡(αt), (3)
где Cij – постоянные;
∀ ≥ 0;
α 0.
Таким образом
Y(t)ij≤Cij. (4)
По условию теоремы, элементы Ykl(t) фундаментальной матрицы, отвечающие собственным значениям λ = iq с нулевой вещественной частью, являются компонентами вектор-функций из фундаментальной системы решений вида
y(t)=h1·exp⁡(λt). (5)
где h = (h1l , . . . , hnl) – собственный вектор (присоединенные векторы для таких собственных значений отсутствуют).
Очевидно, что и в этом случае элементы фундаментальной матрицы также ограничены
Y(t)kl=hkl·exp⁡(iqt)≤Cij. (6)
Таким образом, все элементы фундаментальной матрицы Y(t) ограничены. Умножение Y(t) на постоянную матрицу Y−1(0) оставляет коэффициенты произведения матриц ограниченными. Следовательно
Z(t,0)ij≤Cij. (7)
Используя лемму о асимптотически устойчивом нулевом решении получаем следующую оценку
y(t)≤nCy0